1. 单调函数为什么不是满射
函数是定义域到值域的满射。 函数在它的单调区间上是单射。 因此，没有一个函数是单射而不是满射。 但是，从映射的角度看，如果把函数f(x)看成是非空子集到实数集R的映射（是完全可以的），那么凡是值域不是R的单调函数，都是单射而不是满射。
2. 单调函数为什么不是满射函数
递增,y随x增大而增大,所以反函数 y增大 x也增大
存在反函数的函数,定义域到值域是1-1对应或者叫双射。定义域和值域分别为D,B,若对于x1,x2∈D,x1≠x2,推出f(x1)≠f(x2),f(x1),f(x2)∈B。那么就叫做1-1对应或双射【注意,这里的集合已经压缩到定义域和值域了,满射就能保证了】。这样的映射关系,存在一个逆映射,即存在反函数。
若函数是单调的,无论是增还是减,都能保证x1,x2∈D,x1≠x2,推出f(x1)≠f(x2),f(x1),f(x2)∈B,因此单调函数存在反函数。
但是反过来:x1,x2∈D,x1≠x2,推出f(x1)≠f(x2),f(x1),f(x2)∈B,能不能推出对于所有的x∈D,存在x1>x2,f(x1)>f(x2),或f(x1)
函数单调性是存在反函数的充分非必要条件。
3. 单调函数为什么不是满射的
答案是不一定。
必须是严格的单调增加（或减少）。则其对应的反函数存在，且是严格的单调增加（或减少）。这就是所谓的反函数存在定理。从映射的角度来讲，显然这是双射，非常直观，就不详细证明了。
不是严格的单调增加，对于函数 ， 的映射可能不是单射。则其逆映射就可能出现一个 对应不止一个 的情况，这与反函数的定义是相悖的。也就是说不是严格单调增加的函数可能不存在反函数。
4. 函数单调性为什么那么难
因为反比例函数不是连续函数，所以在整个定义域内不具单调性。反比例函数在一个指定区间内具有单调性：当k>0时，图像分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小；当k<0时，图像分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大。k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。函数的单调性（monotonicity）也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。
当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调增加或单调减少）。
5. 为什么单调函数必可积
闭区间上的单调函数一定可积 单调函数只有第一类间断点,并且间断点构成的集合是至多可数集. 有第一类间断点只能判断原函数不存在,但不能判断是否可积.
6. 为什么单调函数没有最值
可以用导数求解。
解：设函数y=f（x）
求其单调性，一般是对其求导数，y’=f’（x）。
当f’（x）＞0时，f（x）单调递增；
当f’（x）＜0时，f（x）单调递减；
当f’（x）=0时 f（x）取得极值。
最小值：设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意实数x∈I，都有f(x)≥M；
②存在x0∈I。使得f (x0)=M，那么，我们称实数M 是函数y=f(x)的最小值。
最大值：设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意实数x∈I，都有f(x)≤M；
②存在x0∈I。使得f (x0)=M，那么，我们称实数M 是函数y=f(x)的最大值。
7. 函数的单调性为什么不能用并集
对
假设函数区间为AB。若函数在A、B上都单调，不能用“并集”，应该用“和”或“，”；因为函数在A上单调、在B上也单调，但AB是两个不连续的区间，而且在A上的单调和在B上的单调可能并不一致。也就是说，函数在AB上的值并不是连续的。所以不能用“并集”，而应该用和，表示函数在这不同的区间上是分开单调的。
单调区间是指函数在某一区间内的函数值y，随自变量x的值增大而增大↓（减函数）
↑+↑=↑两个增函数之和仍为增函数
↑-↓=↑增函数减去减函数为增函数
↓+↓=↓两个减函数之和仍为减函数
↓-↑=↓减函数减去增函数为减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1
相反地，如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时都有f(x1)>f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数。
8. 为什么说单调函数必有反函数
不是单调函数才有反函数，只要函数中x，y之间是一一对应关系即可。如单点函数，或者构造出的其它函数（不连续的函数很容易构造），就象教材中韦恩图的表示方法。
应该这样说，单调函数一定有反函数，但是有反函数的函数未必是单调的，如y=k/x函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。
一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f（x）=a（x=0）它的反函数是f（x）=0（x=a）这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。关于y轴对称的函数一定没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。
严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。
9. 单调函数为什么几乎处处可微
函数单调性的定义是：函数的单调性，也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。