1. 流行上微分形式的积分怎么算
从我们学过的《多元微积分》中，可以提取出如下记忆的碎片：
如果 n 维欧氏空间 Rⁿ 上的 多元函数 f: Rⁿ → R，存在任意阶连续偏导，则称 f 为光滑函数。将 Rⁿ 上 的全体光滑函数，记为：C^∞。
给定任意 光滑 f ∈ C^∞，在任意一点 x = (x¹, ..., xⁿ) ∈ Rⁿ 处的 增量函数（Δx = (Δx¹, ..., Δxⁿ) ∈ Rⁿ）：
在 x 点的 附近的邻域 U 内，近似于 一个 称为 f 的（全）微分 的 线性函数：
即，有（全）微分式：
其中，o(ρ) 称为 ρ 的无穷小量，满足：
注：这里 变量 的上标，和 变量下标一样，表示变量序号而非指数。
设，e₁ = (1, 0, ..., 0), ..., e_n = (0, ..., 0, 1) 是 Rⁿ 的标准单位正交基，则 Δx 可以表示为：
Δx = Δx¹e₁ + ... + Δxⁿe_n
再根据 线性函数的性质（对于任意 Δx, Δy ∈ Rⁿ, λ ∈ R）：
A(Δx + Δy) = A(Δx) + A(Δy)
A(λΔx) = λA(Δx)
有，
df = A(Δx) = A(Δx¹e₁ + ... + Δxⁿe_n) = Δx¹A(e₁) + ... + ΔxⁿA(e_n)
当 A 确定是，A(e₁), ..., A(e_n) 都是 常数，令，K₁ = A(e₁), ..., K_n = A(e_n)，于是 f 的微分 可以改写为：
df = K₁Δx¹ + ... + K_nΔxⁿ
对于任意 Kᵢ，令 Δxʲ = 0 (j ≠ i) ，则，
|Δx| = √(Δx⋅Δx) = √(Δx¹Δx¹ + ... + ΔxⁿΔxⁿ) = √(Δxⁱ Δxⁱ ) = |Δxⁱ |
进而 从 f 的 微分式 得到：
Δf = KᵢΔxⁱ + o(|Δxⁱ |)
Kᵢ = Δf /Δxⁱ - o(|Δxⁱ |)/Δxⁱ
然后，等式两边取极限，有，
令，
则，最终 f 的微分，改写为：
特别地，当 n = 1，即， f 是一元函数，时，有，
df = f' Δx
考虑 R¹ 上的 一元函数 y = x，y 的微分为，
dy = y'Δx = 1Δx = Δx
而，因为 y = x，所以，
dy = dx
于是我们得到：
最终， f 的微分 改写为：
可以证明如下引理：
对于经过 x ∈ Rⁿ 点 的 任意 光滑函数 f ∈ C^∞ ，存在 一组光滑函数 gᵢ ∈ C^∞ （i = 1, ..., n） 满足：
并且，对于 x 附近邻域 U 内任意 一点 u = (u¹, ..., uⁿ) ，都有：
令 u = x + Δx，则 上面的引理，可改写为：
如果，将 dx¹, ..., dxⁿ 看做 一组基，C^∞ 中的 光滑函数 标量，则 上面的结果 表明：任意一个 x 点处 的增量函数 Δf，在 U 内可以被 dx¹, ..., dxⁿ 线性表示。
于是，以 dx¹, ..., dxⁿ 为基 以 C^∞ 中的 光滑函数 为 标量，可以张成 一个 n维线性空间，记为 V¹。它是 U 内 x 点处的 增量函数 的 全体。对于任意 ω ∈ V¹，都有：
ω = g₁dx¹ + ... + g_ndxⁿ
称为 1 次微分形式。
一般我们不去讨论 dxⁱ 本身的意义只是看做一个形式，但是如果深究，则可以考虑 下标函数：eⁱ(x) = xⁱ有，
定义 任意 微分形式 ω₁ 和 ω₂ 之间的 一种 以 ∧ 为运算符号的， 称为 外积（楔乘）的 运算：
ω₁ ∧ ω₂
满足（对于 任意 ω₁, ω₂, ω₃ ∈ V¹, g ∈ C^∞）：
结合律： (ω₁ ∧ ω₂) ∧ ω₃ = ω₁ ∧ (ω₂ ∧ ω₃) = ω₁ ∧ ω₂ ∧ ω₃；
与数乘可交换：(gω₁) ∧ ω₂ = g(ω₁∧ω₂) = ω₁ ∧ (gω₂) ；
分配律：(ω₁ + ω₂) ∧ ω₃ = ω₁ ∧ ω₃ + ω₂ ∧ ω₃, ω₁ ∧ (ω₂ + ω₃) = ω₁ ∧ ω₂ + ω₁ ∧ ω₃；
反交换律：ω₁ ∧ ω₂ = - ω₂ ∧ ω₁；
对于 任意 ω ∈ V¹，根据反交换律 有：
ω ∧ ω = - ω ∧ ω
进而，
ω ∧ ω + ω ∧ ω = 0
(1 + 1)ω ∧ ω = 0
2ω ∧ ω = 0
ω ∧ ω = 0
因此，
dxⁱ ∧ dxⁱ = 0
这样以来，对于任意 两个 1 次微分形式：
ω₁ = g¹₁dx¹ + ... + g¹_ndxⁿ
ω₂ = g²₁dx¹ + ... + g²_ndxⁿ
之间的 楔乘 为：
令，
得到：
这个称为 2 次微分形式。
类似地，通过 k 个 1次微分形式 的 楔乘，可以得到 k 次 微分形式：
将，k 次微分形式的全体，记为 V²，它是 以 C(n, k) 个：
为 基 的 C(n, k) 维 线性空间。
由于 dxⁱ ∧ dxⁱ = 0，所以，当 k = n 时，Vⁿ 的积 只有一个：
dx¹ ∧ ⋯ ∧ dxⁿ
而，当 k > n 时，Vᵏ = {0}。
为了，一致性，我们令 V⁰ = C^∞，显然 1 是 V⁰ 的基，有，
1 ∧ dxⁱ = dxⁱ
而 光滑函数：
就是， 0 次 微分形式。
回到开始，观察，光滑函数 f 微分 df，对于 每一个 f ∈ V⁰，都有一个 df ∈ V¹，因此 微分其实就是， V⁰ 到 V¹ 的算子，即，
利用，这个结论，我们可以将 微分算子扩展到 d: Vᵏ → Vᵏ⁺¹，定义如下：
特别地，d(dxⁱ ) = 0，因为 dxⁱ = 1dxⁱ ，故，
d(dxⁱ )= d1∧dxⁱ = 0∧dxⁱ = 0⋅1∧dxⁱ = 0(1∧dxⁱ) = 0 dxⁱ = 0
事实上，对于任意 k 次 微分形式 ω 都有：
d(dω) = 0
这称为 庞加莱 引理。
利用，微分形式我们可以得到 斯托克斯（Stokes） 公式： 设 D 是 Rⁿ 上 一个 k ( 0< k ≤ n) 维度 区域， ∂D为 D 诱导定向的边缘，则 对于 任意 k - 1 次微分形式 ω，都有：
以下，令 x = x¹, y = x², z = x³。
当 n = 2, p = 2 时，对于 1次微分形式，
ω = P dx + Q dy
有，
dω = dP ∧ dx + dQ ∧ dy
= (∂P/∂x dx + ∂P/∂y dy) ∧ dx + (∂Q/∂x dx + ∂Q/∂y dy) ∧ dy
= ∂P/∂x dx ∧ dx + ∂P/∂y dy ∧ dx + ∂Q/∂x dx ∧ dy + ∂Q/∂y dy ∧ dy
= 0 - ∂P/∂y dx ∧ dy + ∂Q/∂x dx ∧ dy + 0
= (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dx ∧ dy
于是，Stokes 公式 为：
这就是 《高等数学》中的 格林公式。
当 n = 3， p = 2 时，则 对于 1次微分形式，
ω = P dx + Q dy + R dz
有，
dω = dP ∧ dx + dQ ∧ dy + R ∧ dz
= (∂P/∂x dx + ∂P/∂y dy + ∂P/∂z dz) ∧ dx + (∂Q/∂x dx + ∂Q/∂y dy + ∂Q/∂z dz) ∧ dy + (∂R/∂x dx + ∂R/∂y dy + ∂R/∂z dz) ∧ dz
= P/∂y dy ∧ dx + ∂P/∂z dz ∧ dx + ∂Q/∂x dx ∧ dy + ∂Q/∂z dz ∧ dy + ∂R/∂x dx ∧ dz + ∂R/∂y dy ∧ dz
= - P/∂y dx ∧ dy + ∂P/∂z dz ∧ dx + ∂Q/∂x dx ∧ dy - ∂Q/∂z dy ∧ dz - ∂R/∂x dz ∧ dx + ∂R/∂y dy ∧ dz
= (∂Q/∂x - P/∂y)dx ∧ dy + (∂R/∂y - ∂Q/∂z)dy ∧ dz + ( ∂P/∂z - ∂R/∂x) dz ∧ dx
于是，Stokes 公式 为：
这就是 《高等数学》中的 斯托克斯公式。
当 n = 3, p = 3 时，对于 2次微分形式，
ω = P dx ∧ dy + Q dy ∧ dz + R dz ∧ dx
有，
dω = dP ∧ dx ∧ dy + dQ ∧ dy ∧ dz + dR ∧ dz ∧ dx
= ∂P/∂z dz ∧ dx ∧ dy + ∂Q/∂x dx ∧ dy ∧ dz + ∂R/∂y dy ∧ dz ∧ dx
= (∂Q/∂x + ∂R/∂y + ∂P/∂z) dx ∧ dy ∧ dz
于是，Stokes 公式 为：
这就是 《高等数学》中的 高斯公式。
当 n = 1， p = 1 时，对于 0 次微分形式，
ω = F(x)
令 f(x) = F'(x) 有，
dω = F'(x) dx = f(x) dx
于是，再令 D = [a, b]，Stokes 公式 为：
这就是 《高等数学》中的 牛顿-莱布尼兹公式。
以面，用 微分形式 表示 重积分，例如，
比《高等数学》中 的 重积分的表示方法，例如，
更加合理。因为，当 x = x(u, v), y = y(u, v) 时，有：
偰乘规则刚好 符合 重积分的 换位法。
最后，令 G(V) 是 V⁰, V¹, ..., Vⁿ 的直和，即，
G(V) = V⁰ ⊕ V¹ ⊕ V² ⊕ ⋯ ⊕ Vⁿ
则 ∧ 可自然地扩展到 G(V) 上，这称为 外代数 或 Gassmann 代数。同样 微分算子 d 也可以扩展到 G(V) 上。
小石头，在回答“外代数那些内容看不懂？” 中 给大家介绍 过 通过 反对称的张量 构造 外代数 实例 的方法，而这里， 微分形式 又是 另外 一个 重要的 外代数 实例。
以上，小石头 仅仅是 向大家展示了 微分形式的 定义 和 最基本的性质 和 应用， 微分形式 的 最重要应用 是 嘉当 在 《微分几何》 中引入的 活动标架，陈省身和老师 都是玩 微分形式的 大师。关于 《微分几何》有很多有趣的内容，以后有机会再慢慢讲给大家！
（由于小石头数学水平有限，出错在所难免，欢迎大家批评指正！）
2. 流行上微分形式的积分怎么算的
∫类似求和符号，dx是无穷小。
无穷个无穷小求和就是积分，∫和d相遇,就为d后面跟着的东西。
dx的运算就是微分的运算.dx完全可以进行四则运算的。
比如凑微分y'dx
y'=dy/dx，所以y'dx=dy
又比如换微分，x=f(t)
dx=dx/dt*dt=f'(t)dt
扩展资料
在多元微积分学中，牛顿-莱布尼茨公式的对照物是德雷克公式、散度定理、以及经典的斯托克斯公式。无论在观念上或者在技术层次上，他们都是牛顿-莱布尼茨公式的推广。随着数学本身发展的需要和解决问题的需要，仅仅考虑欧式空间中的微积分是不够的。
有必要把微积分的演出舞台从欧式空间进一步拓展到一般的微分流形。在微分流形上，外微分式扮演着重要的角色。于是，外微分式的积分和微分流形上的斯托克斯公式产生了。而经典的德雷克公式、散度定理、以及经典的斯托克斯公式也得到了统一。
3. 微分积分运算法则
区别包括：定义不同、数学表达不同、几何意义不同。
定义不同：微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分。积分是无数无限小的东西重新集合成为一个整体。
4. 微分形式的计算
麦克斯韦方程组微分形式是:
积分形式的麦克斯韦方程组需要选定一个曲面，但是它并没有限定这个曲面的大小，可以把这个曲面选得很大，也可以选得很小。当你把这个曲面选得很小很小的时候，麦克斯韦方程组的积分形式就自然变成了微分形式。
5. 微分积分概念
微分和积分的区别包括：定义不同、数学表达不同、几何意义不同。
定义不同
微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。
设f是从欧几里得空间（或者任意一个内积空间）中的一个开集射到的一个函数。对于中的一点x及其在中的邻域中的点x+h。如果存在线性映射A使得对任意这样的x+h，那么称函数f在点x处可微。线性映射A叫做f在点x处的微分。
积分是把微分后的结果，也就是无数无限小的东西重新集合成为一个整体。
定义积分的方法不止一种，各种定义之间也不是完全等价的。其中的差别主要是在定义某些特殊的函数：在某些积分的定义下这些函数不可积分，但在另一些定义之下它们的积分存在。然而有时也会因为教学的原因造成定义上的差别。最常见的积分定义是黎曼积分和勒贝格积分。
数学表达不同
微分：导数和微分在书写的形式有些区别，如y' =f (x),则为导数，书写成dy=f (x)dx,则为微分。
积分：设F (x)为函数f (x)的一个原函数，我们把函数f (x)的所有原函数F (x) +C (c为任
意常数)，叫作函数f(x)的不定积分，数学表达式为：若f' (x)=g(x)，则有f g(x) dx=f(x) +c。
几何意义不同
微分的几何意义是将线段无线缩小来近似代替曲线段；
积分是需要几何形体的面积或体积。
微分介绍
早在希腊时期，人类已经开始讨论「无穷」、「极限」以及「无穷分割」等概念。这些都是微积分的中心思想；虽然这些讨论从现代的观点看有很多漏洞，有时现代人甚至觉得这些讨论的论证和结论都很荒谬，但无可否认，这些讨论是人类发展微积分的第一步。
十七世纪以后，牛顿和莱布尼茨将微分及积分两个貌似不相关的问题，透过「微积分基本定理」或「牛顿－莱布尼茨公式」联系起来，说明求积分基本上是求微分之逆，求微分也是求积分之逆。这是微积分理论中的基石，是微积分发展一个重要的里程碑。
微分的性质
如果f是线性映射，那么它在任意一点的微分都等于自身。
在Rn（或定义了一组标准基的内积空间）里，函数的全微分和偏导数间的关系可以通过雅可比矩阵刻画：
设f是从Rn射到Rm的函数，f=(f1,f2,...fm)，那么：
具体来说，对于一个改变量：，微分值：
可微的必要条件：如果函数f在一点x_0处可微，那么雅克比矩阵的每一个元素都存在，但反之不真。
可微的充分条件：如果函数f在一点x_0的雅克比矩阵的每一个元素\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0)都在x_0连续，那么函数在这点处可微，但反之不真。
积分介绍
积分发展的动力源自实际应用中的需求。实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。
勒贝格积分的概念定义在测度的概念上。测度是日常概念中测量长度、面积的推广，将其以公理化的方式定义。黎曼积分实际可以看成是用一系列矩形来尽可能铺满函数曲线下方的图形，而每个矩形的面积是长乘宽，或者说是两个区间之长度的乘积。测度为更一般的空间中的集合定义了类似长度的概念，从而能够“测量”更不规则的函数曲线下方图形的面积，从而定义积分。